ガロア理論…難しいですよね。
今日はこのようなことについて考えました。
ガロア理論では加減乗除ができるような数の範疇での代数方程式がとらえられる。したがって有理数や複素数の範囲で多項式によって表された方程式の解を考えたり、あるいは整係数の多項式で素数を法とした解を考える場合がガロア理論の直接的な対象となる。
代数方程式が代数的に解ける、つまり係数に対する四則演算と根号の有限個の組合せで解が表せるかどうかが問題になる。4 次までの代数方程式についてはこれがなりたっており、例えば二次の多項式 x2 − 2ax + b の二つの根は
と表すことができる。一般的に、与えられた多項式 p(以下技術的な仮定として p の分離性を仮定する)の根が多項式の係数の四則演算とべき根によって表せるかどうかは、係数の作る体 K の適当な冪根拡大に根が含まれるかどうか、と言い換えることができる。別の見方をすれば、与えられた多項式の根を全て添加して、その上では p が一次式の積に分解するようにした体(p の分解体; splitting field)L が、体 K のべき根拡大になっているか、と定式化できる。
p を形式的に根の一次式の積として表す(実際、これは K を含む代数閉体上で可能になる)ことで p の係数は根の基本対称式であること(根と係数の関係)が分かる。したがって拡大体 L の自己同型 σ が根の入れ替えを引き起こしているときには σ の下で p の係数たちや、より一般に K の元は変化しないことがわかる。一方、K の元を不変にするような L の自己同型は p の根を入れ替えている。このような変換すべての集まり Gal(L/K) は変換の合成という二項演算について群の構造を持っており、L の K 上のガロア群または p のガロア群とよばれる。
仮に p の根が係数の加減乗除やべき根による式で表せていたとすると、その式のうち一部分で表される数から生成するような体を考えることができ、こうして得られる体は K を含んで L に含まれる体(L の部分拡大)となる。このとき、ガロア理論の主定理によってこの部分拡大をちょうど不変体にするような Gal(L/K) の部分群が存在する。K の元 x の n 乗根は n 個あるが、それらすべてで生成されるような L の部分体は重要な役割を果たす。より一般に、体の拡大において、ある体上で既約な多項式の分解体となるという性質を正規性といい、中間体の正規性はガロア群の部分群が正規部分群であることに対応している。
例えば、L の正規部分拡大のうちで K の特定の元のべき根によって生成されるもの M の対称性を表す群 Gal(M/K) = Gal(L/K)/Gal(L/M) は巡回群になる。L が K のべき根拡大になっているかどうかは群 G が可解群になっているかどうかと同値になる。このようにして分解体の自己同型を調べることで方程式の可解性について考察することができる。一方、最も一般的な設定の下では群 Gal(L/K) は n 次の対称群になる。特に、5 次以上の一般の多項式の対称性を表す 5 次の対称群は可解群ではなく、このことから 5 次以上の代数方程式は一般に可解でない(代数的な根の公式が存在しない)ことがわかる。
引用『ウィキペディア(Wikipedia)』
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